Dacă suma pătratelor a două numere este 80 și pătratul diferenței dintre cele două numere este 36, atunci care este produsul a două numere?


Răspunsul 1:

Răspunsul este 22.

Fie că cele două numere să fie x, și y.

Condițiile date sunt:

  • Suma pătratelor a două numere este 80.x² + y² = 80Pătratul diferenței dintre cele două numere este 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Luați a doua condiție și obțineți o valoare pentru x².

  • x²-2xy + 2xy + = Ya-Ya 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Înlocuiți x² în prima condiție cu valoarea derivată.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Astfel, produsul celor două numere (x, y) este 22.


Răspunsul 2:

Prima stare:

a2+b2=80a^2+b^2=80

A doua condiție:

(ab)2=36(a-b)^2=36

De la a doua condiție:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Înlocuirea primei condiții:

802ab=3680-2ab=36

, reorganizare

2ab=8036=442ab=80-36=44

Asa de

2ab=442ab=44

și

ab=22ab=22

.

Răspunsul: produsul este 22.

În cazul în care doriți să rezolvați sistemul complet: diferența este

36=6\sqrt{36}=6

, iar produsul este

2222

, prin urmare

a>ba>b

.

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Deci, dacă obținem soluțiile pentru

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

putem rezolva problema.

Soluția pentru

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

este

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Asa de

a=31+3a=\sqrt{31}+3

și

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Este ușor de dovedit că aceste două numere îndeplinesc condițiile întrebării și a răspunsului.


Răspunsul 3:

Prima stare:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Înlocuirea primei condiții:

319=2231–9=22

, reorganizare

x2+y2=80x^2+y^2=80

Asa de

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

și

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

În cazul în care doriți să rezolvați sistemul complet: diferența este

36=6\sqrt{36}=6

, iar produsul este

2222

, prin urmare

a>ba>b

.

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Deci, dacă obținem soluțiile pentru

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

putem rezolva problema.

Soluția pentru

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

este

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Asa de

a=31+3a=\sqrt{31}+3

și

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Este ușor de dovedit că aceste două numere îndeplinesc condițiile întrebării și a răspunsului.