În teoria cuantică, care este diferența dintre o stare mixtă adecvată și o stare mixtă necorespunzătoare?


Răspunsul 1:

Din câte am înțeles, o stare mixtă corespunzătoare este o combinație statistică de stări pure care fac parte din experiment, în timp ce o stare mixtă necorespunzătoare este aceea în care o parte a sistemului nu mai face parte din experiment (să zicem, o rază cosmică devine legat de qubit-ul tău și zboară - ceea ce ai rămas este o stare mixtă necorespunzătoare, deoarece nu mai ai acces la întregul stat).

În timp ce cercetam această întrebare, am descoperit acest lucru - http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - ceea ce face un argument convingător că statele mixte adecvate sunt fizic imposibile; ai numai stări pure și stări mixte improprii.

Despre modul în care acestea sunt semnificative pentru înțelegerea măsurătorilor, va trebui să așteptăm pe cineva cu niște sutien-uri care să le păstreze; Sunt tot afară. Poate Allan Steinhardt :)


Răspunsul 2:

Diferența dintre stările mixte adecvate și improprii este diferența dintre cele care pot fi interpretate ca provenind din ignoranța stării pure (amestecuri adecvate) și cele care nu pot fi interpretate atât (amestecuri improprii). Aceste amestecuri improprii apar atunci când examinați un subsistem cu o stare pură mai mare.

Distincția este subtilă și nu știu o modalitate de a o explica fără utilizarea extensivă a aparatului operatorilor matricilor de densitate. Și acesta este un aparat care nu face parte de obicei dintr-un prim curs în mecanica cuantică. Așa că fii avertizat, s-ar putea să devină un pic crunchy.

Destul de scuze, haideți să trântim.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. În cazul în care există o incertitudine cu privire la care dintre mai multe stări pure s-ar putea afla. În cazul în care sistemul este deschis (de exemplu, este un subsitem al unui sistem mai mare).

Începem prin introducerea operatorilor de densitate prin prima situație:

Necunoașterea stării sistemului ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... sau ca subsistem al unuia mai mare:

Luați în considerare o stare încurcată (o stare de spin EPR / Bell pentru acest exemplu). Aceasta este o stare pură:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Deci matricea densității acestei stări pure este pur și simplu:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Acum spune însă că avem voie să facem doar măsurători ale primului electron. Pentru a înțelege ce ar oferi acest lucru, efectuăm o operație numită urmă parțială (care este în mod efectiv o metodă de urmărire a tuturor gradelor de libertate asociate celei de-a doua particule) și obținem o matrice cu densitate redusă care rezumă toate observabilele posibile pentru prima numai electron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Cum se spune diferența ...

Iată cheia: această matrice cu densitate redusă este locală nedistinguibilă din matricea de densitate pe care aș putea să o obțin prin faptul că ignoră total dacă sistemul se află în stare pură sau în stare pură. Dacă aș atribui 50% probabilitate fiecărei posibilități, starea mixtă corespunzătoare rezultă ar fi aceeași:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

De ce sunt importante în măsurare?

Putem vedea acest lucru aplicând aceste lecții la procesul de decernare.

În decoherență, un sistem cuantic devine legat de sistemul aparatului de măsurare, iar termenii de interferență (adică, toți cei care nu sunt pe diagonala bazei „pointer” a aparatului de măsurare) dispar rapid (aproape la zero).

Puteți lua apoi urmă parțială pentru a analiza matricea cu densitate redusă a sistemului. Și, la fel ca și exemplul de mai sus, această matrice de densitate redusă nu se distinge de matricea de densitate pregătită de cineva care, pur și simplu, nu știe ce stare de indicator pur în care au pregătit sistemul.

Deci, poate fi tentat să spunem că problema de măsurare a fost rezolvată! Să interpretăm doar matricea cu densitate redusă ca un amestec pur - adică ca ignoranța noastră asupra poziției indicatoare. Putem afla apoi, analizând indicatorul.

Dar aceasta este interpretarea unui amestec necorespunzător ca și cum ar fi un amestec adecvat.

Sau, altfel spus, este interpretarea unui "și" ca un "sau". Toate stările pure pointer sunt încă în funcția de undă mai mare (adică, în sistemul complet) și trebuie să arătăm de ce ceilalți dispar (și amintiți-vă, această dispariție este în contradicție cu evoluția unitară). Încă nu am făcut asta.

Ce înseamnă oamenii când spun că decoherența rezolvă problema măsurării?

Dacă sunteți o persoană Everettiană / multe lumi, acest lucru vă lasă exact acolo unde doriți să fiți. Puteți accepta complet că decoența dă un „și”, nu un „sau” în matricea cu densitate redusă. Oamenii din lumea Everettiană / multe lumi pot lua această concluzie complet în serios și interpretează matricea de densitate redusă ca exprimând ceea ce „vedeți” în ramura dvs., dar acceptă absolut că toate celelalte stări indicatoare sunt realizate și ele.

Toți cei care NU acceptă Everett trebuie să adauge un cont despre modul în care este selectată o singură stare indicatoare din matricea de densitate redusă (chiar școala „închide și calculează” trebuie să facă acest lucru, deși probabil se spune „Taci și selectează una cu probabilitate dată de regula Born. ")

Problema este că există unii oameni care par a argumenta serios faptul că decoherența rezolvă singură problema de măsurare. Luându-le la cuvânt, acest lucru înseamnă să se angajeze în interpretarea Everett. Dar este uneori dificil de înțeles dacă acceptă tacit viziunea Everett / multe lumi sau au făcut doar greșeala de a combina amestecuri adecvate și improprii.


Răspunsul 3:

Diferența dintre stările mixte adecvate și improprii este diferența dintre cele care pot fi interpretate ca provenind din ignoranța stării pure (amestecuri adecvate) și cele care nu pot fi interpretate atât (amestecuri improprii). Aceste amestecuri improprii apar atunci când examinați un subsistem cu o stare pură mai mare.

Distincția este subtilă și nu știu o modalitate de a o explica fără utilizarea extensivă a aparatului operatorilor matricilor de densitate. Și acesta este un aparat care nu face parte de obicei dintr-un prim curs în mecanica cuantică. Așa că fii avertizat, s-ar putea să devină un pic crunchy.

Destul de scuze, haideți să trântim.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. În cazul în care există o incertitudine cu privire la care dintre mai multe stări pure s-ar putea afla. În cazul în care sistemul este deschis (de exemplu, este un subsitem al unui sistem mai mare).

Începem prin introducerea operatorilor de densitate prin prima situație:

Necunoașterea stării sistemului ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... sau ca subsistem al unuia mai mare:

Luați în considerare o stare încurcată (o stare de spin EPR / Bell pentru acest exemplu). Aceasta este o stare pură:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Deci matricea densității acestei stări pure este pur și simplu:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Acum spune însă că avem voie să facem doar măsurători ale primului electron. Pentru a înțelege ce ar oferi acest lucru, efectuăm o operație numită urmă parțială (care este în mod efectiv o metodă de urmărire a tuturor gradelor de libertate asociate celei de-a doua particule) și obținem o matrice cu densitate redusă care rezumă toate observabilele posibile pentru prima numai electron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Cum se spune diferența ...

Iată cheia: această matrice cu densitate redusă este locală nedistinguibilă din matricea de densitate pe care aș putea să o obțin prin faptul că ignoră total dacă sistemul se află în stare pură sau în stare pură. Dacă aș atribui 50% probabilitate fiecărei posibilități, starea mixtă corespunzătoare rezultă ar fi aceeași:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

De ce sunt importante în măsurare?

Putem vedea acest lucru aplicând aceste lecții la procesul de decernare.

În decoherență, un sistem cuantic devine legat de sistemul aparatului de măsurare, iar termenii de interferență (adică, toți cei care nu sunt pe diagonala bazei „pointer” a aparatului de măsurare) dispar rapid (aproape la zero).

Puteți lua apoi urmă parțială pentru a analiza matricea cu densitate redusă a sistemului. Și, la fel ca și exemplul de mai sus, această matrice de densitate redusă nu se distinge de matricea de densitate pregătită de cineva care, pur și simplu, nu știe ce stare de indicator pur în care au pregătit sistemul.

Deci, poate fi tentat să spunem că problema de măsurare a fost rezolvată! Să interpretăm doar matricea cu densitate redusă ca un amestec pur - adică ca ignoranța noastră asupra poziției indicatoare. Putem afla apoi, analizând indicatorul.

Dar aceasta este interpretarea unui amestec necorespunzător ca și cum ar fi un amestec adecvat.

Sau, altfel spus, este interpretarea unui "și" ca un "sau". Toate stările pure pointer sunt încă în funcția de undă mai mare (adică, în sistemul complet) și trebuie să arătăm de ce ceilalți dispar (și amintiți-vă, această dispariție este în contradicție cu evoluția unitară). Încă nu am făcut asta.

Ce înseamnă oamenii când spun că decoherența rezolvă problema măsurării?

Dacă sunteți o persoană Everettiană / multe lumi, acest lucru vă lasă exact acolo unde doriți să fiți. Puteți accepta complet că decoența dă un „și”, nu un „sau” în matricea cu densitate redusă. Oamenii din lumea Everettiană / multe lumi pot lua această concluzie complet în serios și interpretează matricea de densitate redusă ca exprimând ceea ce „vedeți” în ramura dvs., dar acceptă absolut că toate celelalte stări indicatoare sunt realizate și ele.

Toți cei care NU acceptă Everett trebuie să adauge un cont despre modul în care este selectată o singură stare indicatoare din matricea de densitate redusă (chiar școala „închide și calculează” trebuie să facă acest lucru, deși probabil se spune „Taci și selectează una cu probabilitate dată de regula Born. ")

Problema este că există unii oameni care par a argumenta serios faptul că decoherența rezolvă singură problema de măsurare. Luându-le la cuvânt, acest lucru înseamnă să se angajeze în interpretarea Everett. Dar este uneori dificil de înțeles dacă acceptă tacit viziunea Everett / multe lumi sau au făcut doar greșeala de a combina amestecuri adecvate și improprii.